Lineae aequidistantes vel parallelae sunt, quae in eadem
plana superficie collocatae atque utrimque productae
in neutra parte concurrunt. Ista diffinitio est sufficienter
data et habet tres differentias, per quas excluduntur omnes
instantiae. Quarum prima est, quod sint in eadem
superficie plana, quia in diversis superficiebus taliter possent
duci, quod non concurrent. Secunda differentia est,
quod sint in alterutram partem productae, quia si essent
non parallelae et non sufficienter ductae vel etiam si ex ea
parte ducerentur, a qua plus distant, utique non concurrerent.
Contra tamen istam maximam vel communem animi
conceptionem Euclidis memini coram illustrissimo
Duce Florentiae disputasse et haec eadem erat una de
meis conclusionibus in disputationibus publicis, quas anno
praeterito habui in alma Academia Patavina. Nec tamen
usque in hodiernum habui solutionem. Imaginatus enim
sum unum modum, in quo possum ducere duas lineas
rectas super eandem superficiem, non aequidistantes, in
infinitum ducere, quae tamen numquam concurrere possent.
Imaginatio enim mea talis est.
Sit linea recta infinita a.b. et punctus c. signatus extra lineam a.b. a
quo ducatur linea c.x. ad lineam
a.b. ita tamen, quod punctus x. lineae c.x. semper fluat super lineam
infinitam a.b. et punctus c. lineae c.x. sit immobilis. Sit
etiam signatus punctus in linea c.x., qui erit r. Fluat etiam
r. punctus ad fluxum x. puncti. Positis istis modo suppono tria mathematicalia per se nota. Quorum primum est,
quod punctus fluens causat lineam et ad motum lineae
causatur superficies, ad motum superficiei causatur ipsum
corpus. Secundum suppositum est, quod qualitercumque
totum movetur motu uniformi, necesse est et partes moveri
eodem motu. Et econtra, scilicet qualiter omnes partes
moventur et totum eodem modo movebitur. Puta, si
corpus uniformiter movetur motu circulari vel motu recto,
dico quod et partes integrales eius speciem motus eandem
facient, quam et totum. Et econtra, si partes movebuntur
motu recto vel circulari, et totum movebitur motu recto
vel circulari, cum partes integrales nihil aliud sint, quam
ipsum totum primo Physicorum textu commenti 17. Tertium
suppositum est quod linea non potest tangere aliam
lineam, nisi per punctum et hoc est verum in lineis rectis.
Implicat enim contradictionem, si longitudo sine latitudine
tangat longitudinem sine latitudine, nisi per unum
punctum, quia secundum latitudinem non habent partem
et partem, per quas possent tangere partem et partem,
nisi per punctum, qui non habet partem et partem, ideo
est etiam indivisibilis (ut ex sua diffinitione apparet); quod
si una linea recta tangat aliam rectam plusquam per
punctum, certe necesse est, quod tota linea cadat super
totam lineam et quod duae lineae fiant una linea et quod
non sint amplius duae lineae, quia indivisibile additum
indivisibili non facit maius neque divisibile. Tunc arguo
sic x. punctus lineae c.x. uniformiter fluit motu recto, quia
super lineam rectam scilicet a.b. Ergo punctus r. (qui est
signatus in linea c.x. uniformiter fluente) uniformiter fluet
et ipse scilicet motu recto ad motum totius lineae c.x. per
secundum suppositum. Ergo punctus fluens motu recto
causabit lineam rectam per primum suppositum. Et sic
patet prima pars nostrae intentionis, scilicet quod linea
r. et r. ad fluxum ipsum r. sit linea recta. Modo probo,
quod linea a.b. cum linea r. et r. non sunt lineae parallelae.
A puncto x. ducatur linea ad a.b. lineam, quam secet
in puncto m. taliter, quod latus m.x. sit aequale lateri x.r.
trianguli r.x.m. Item in alia distantia vel fluxu ipsius x. a
puncto a. versus b. fiat unus triangulus simili modo, cuius
basis secabit lineam a.b. in puncto n. qui triangulus erit
x.r.n. Tunc arguo sic: omnium duorum triangulorum, quorum
duo latera unius fuerint aequalia duobus lateribus
alterius et angulus unius respiciens ipsam basim, fuerit
maior angulo alterius respiciente basim, necesse est, quod
basis trianguli habentis angulum maiorem etiam sit maior
basi trianguli habentis angulum minorem respicientem
ipsam basim per 24. propositionem primi Elementorum
Euclidis. Sed angulus r.x.n. est minor angulo r.x.m. quia
est extrinsecus ad ipsum per 16. et 36. primi Euclidis: quod
autem sit extrinsecus, patet: si accipiatur triangulus x.c.x.
et producas latus eiusdem scilicet x.n. in m., cuius angulus
r.x.m. est extrinsecus: quod est intentum. Tunc ultra:
angulus r.x.n. est minor angulo r.x.m., ergo basis r.n. est
minor basi r.m., ergo linea r. non aequidistat, quia ex una
parte est proximior quam alia. Et sic probatum est, quod
linea a.b. et linea r. non aequidistant. Tertium etiam
faciliter probatur, scilicet quod punctus r. est impossibile,
quod tangat lineam a.b., quamvis semper magis atque magis
appropinquatur ipsi lineae a.b., quia x. punctus lineae
c.x. semper tangit lineam a.b., ergo nullus alter punctus,
puta r. per tertium suppositum, et sic patet intentum
scilicet, quod datur modus qualiter duas lineas rectas
super eandem superficiem in infinitum ductae, et tamen
numquam concurrere. Solutionem unusquisque quaerat.
Placuit enim mihi litem tantam propria speculatione adinvenisse
et vobis eam disputandam proposuisse.